<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 4>
<83>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Hoje tem Matemtica         _
l    2                            _
l    Descubra a magia dos nmeros _
l    Os mltiplos ajudam a encon- _
l  trar os divisores               _
l    O nome dos polgonos: isso  _
l  grego!                          _
l    Os nmeros tm forma, voc   _
l  sabia?                          _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<84>
4. Brincando com os nmeros

  Neste captulo, voc vai usar seus conhecimentos e habilidades para 
explorar e descobrir curiosidades sobre nmeros.

<P>
Pirmides mgicas

  Observe os nmeros que compem a pirmide abaixo.

<F->
               pccccc
               l #dh _
               v-----#
            pcccccpccccc
            l #bj _l #bh _
            v-----#v-----#
         pcccccpcccccpccccc
         l #h  _l #ab _l #af _
         v-----#v-----#v-----#
      pcccccpcccccpcccccpccccc
      l #c  _l #e  _l #g  _l #i  _
      v-----#v-----#v-----#v-----#
   pcccccpcccccpcccccpcccccpccccc
   l #a  _l #b  _l #c  _l #d  _l #e  _
   v-----#v-----#v-----#v-----#v-----#
<F+>

<P>
  Discuta com seus colegas e veja se vocs conseguem descobrir alguma 
regularidade nessa pirmide.

  Histria em quadrinhos:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                _
l    Aluna fala:                  _
l    o Descobri que o nmero     _
l       de um tijolinho  igual    _
l        soma dos nmeros dos     _
l       dois tijolinhos onde ele   _
l       est apoiado.              _
l    Aluno fala:                  _
l    o  mesmo! 48=20+28.     _
l    Outra aluna fala:            _
l    o E 20=8+12.             _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.            _
l    Aluna 1 fala:           _
l    o Tambm 28=12+16.   _
l    Professor fala:          _
l    o Muito bem! Que tal   _
l       fazer as atividades?   _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<85>
Atividades
  1. Construa uma pirmide mgica. Preencha as casinhas da base com 
os nmeros 2, 5, 11, 1 e 8, nesta ordem, e complete a pirmide.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l  Idia: Use papel quadriculado.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
  2. Desenhe uma pirmide mgica em cujas casinhas  direita, de cima 
para baixo, esto os nmeros 58, 33, 17, 9 e 8.

<F->
               pccccc
               l #eh _
               v-----#
            pcccccpccccc
            l     _l #cc _
            v-----#v-----#
         pcccccpcccccpccccc
         l     _l     _l #ag _
         v-----#v-----#v-----#
      pcccccpcccccpcccccpccccc
      l     _l     _l     _l #i  _
      v-----#v-----#v-----#v-----#
   pcccccpcccccpcccccpcccccpccccc
   l     _l     _l     _l     _l #h  _
   v-----#v-----#v-----#v-----#v-----#
<F+>

  3. Invente uma pirmide mgica de 4 andares com nmero em algumas 
casinhas e pea a seu colega para acabar de preencher.

  4. Voc tem um colega que nunca viu uma pirmide mgica. Como 
voc explicaria a ele o funcionamento de uma pirmide desse tipo?

Quadrados mgicos

  Divida um quadrado em 9 quadradinhos iguais.

<F->
pcccccccccccccccc    pccccpccccpcccc
l                _    l    _l    _l    _
l                _    v----#v----#v----#
l                _    pccccpccccpcccc
l                _ :o l    _l    _l    _
l                _    v----#v----#v----#
l                _    pccccpccccpcccc
l                _    l    _l    _l    _
v----------------#    v----#v----#v----#
<F+>

  -- Observe: so 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais.

<86>
<P>
  Tente colocar um nmero natural de 1 a 9 em cada uma dessas casas 
de modo que a soma dos nmeros que esto em cada linha, coluna ou diagonal 
seja sempre a mesma.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: menino escrevendo   o
  um quadrado mgico.            o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  -- Veja, eu fiz assim.

  O 15, obtido como soma das linhas, colunas ou diagonais  a 
_constante _mgica do quadrado.
  Um dos quadrados mgicos mais antigos  este:

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: quadrado mgico   o
  chins.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<P>
  Este quadrado mgico chins, publicado no livro Criative puzzles of 
the world,  conhecido h quase 5 mil anos.

Atividades
  5. A constante mgica do quadrado {4 por 4}  igual a 34.
  Copie o quadrado e complete-o.

<F->
pccccpccccpccccpcccc
l#ae _l    _l #c _l #f _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l    _l #e _l#af _l    _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l#ad _l    _l    _l #g _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l    _l #h _l    _l#ab _
v----#v----#v----#v----#
<F+>

<P>
  6. Distribua os nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 de modo a obter um 
quadrado mgico 3`*3. Neste caso, o valor da constante mgica  a tera parte 
da soma dos nmeros dados e os nmeros que ficam nos cantos dos quadrados 
so os nmeros mpares.

<F->
pccccpccccpcccc
l #e _l    _l    _
v----#v----#v----#
pccccpccccpcccc
l    _l    _l    _
v----#v----#v----#
pccccpccccpcccc
l    _l    _l #g _
v----#v----#v----#
<F+>

<87>
Descobrindo outras regularidades numricas

  Para descobrir, vamos fazer algumas atividades. O importante  ficar 
atento para encontrar regularidades com os nmeros.

Atividades
  7. Para calcular os produtos, faa contas. Pode usar lpis e papel ou 
uma calculadora:
  a) 3`*37
  b) 6`*37
  c) 9`*37
  d) 12`*37
  e) 15`*37
  Observe os resultados obtidos para responder sem fazer contas:
  Qual  o nmero que multiplicado por 37 d 777 como resultado?

  8. Nesta atividade voc pode usar uma calculadora para calcular:
  a) 11`*11
  b) 111`*111
  c) 1.111`*1.111
  d) 11.111`*11.111
  Agora, observe os resultados obtidos para responder sem fazer contas:
  o Qual  o resultado de 111.111`*111.111?
  o O que voc observou?
  o Compare seu resultado com o de seus colegas.

  9. Outra atividade com {uns}. Calcule:
  a) 1`*9+2
  b) 12`*9+3
  c) 123`*9+4
  d) 1.234`*9+5
  e) 12.345`*9+6
  f) 123.456`*9+7
  Observe os resultados obtidos para responder sem fazer contas:
  o Qual  o resultado de 1.234.567`*9+8?
  o O que voc observou?
  o Compare seu resultado com o de seus colegas.

<88>
<P>
Voltando ao assunto...

  Imagine um nmero que insiste em aparecer depois que fazemos 
algumas contas, no importando qual o ponto de partida dessas contas. Pois 
esse parece ser o caso do nmero 1.089. Quer ver? Siga os passos:
  1) Pense um nmero de trs algarismos, sendo que o da unidade  
diferente do da centena. Pensou?
  2) Agora inverta a ordem dos algarismos do nmero pensado e 
subtraia o menor do maior. Subtraiu?
  3) Adicione o resultado com o nmero que se obtm invertendo a 
ordem de seus algarismos. Surpresa!
  No importa em que nmero voc pensou; o resultado  
1.089.  ou no ?

<P>
Histria em quadrinhos:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                _
l    Aluna fala:                  _
l    o Veja como eu fiz:         _
l    nmero pensado: 734          _
l    invertido: 437               _
l    resultado da subtrao: 297  _
l    invertido: 792               _
l    resultado da adio: 1.089   _
l    Professor fala:              _
l    o Se voc acha que isso    _
l       um truque, teste com       _
l       seus colegas.              _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Outra aluna fala:             _
l    o E se o {nmero de parti-   _
l       da} tiver dois algarismos   _
l       diferentes, o que aconte-   _
l       ce? Ser que vai existir   _
l       algum nmero insistente?    _
l       Qual ser esse nmero?     _
l    Aluno fala:                   _
l    o O que acontece se eu       _
l       partir de um nmero de      _
l       quatro algarismos dife-     _
l       rentes?                     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.            _
l    o Pesquise e responda   _
l       essas questes.        _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<89>
<P>
  Agora, escolha um nmero qualquer ABC de trs algarismos. Em 
seguida, escreva o nmero ABCABC de seis algarismos. Divida ABCABC 
por 13.
  Divida o resultado obtido pelo nmero 11.
  Verifique se essa diviso  exata.
  Agora divida esse ltimo resultado por 7.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                   _
l    Aluna pergunta:                 _
l    o Ser que o resultado         _
l       de ABCABC/13  um nmero   _
l       inteiro?                      _
l    Professor fala:                 _
l    o Espere. Antes de fazer      _
l       a conta, voc  capaz de      _
l       adivinhar o resultado?        _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Aluno fala:                   _
l    o Eu fiz assim:              _
l    pensei no nmero 147          _
l    escrevi 147.147               _
l    147.147/13=11.319           _
l    11.319/11=1.029             _
l    1.029/7=147                 _
l    Professor fala:               _
l    o Teste com seus colegas     _
l       escolhendo outros nmeros.  _
l    o Voc  capaz de explicar   _
l       por que essa brincadeira    _
l       funciona?                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.                   _
l    Trio de alunos falam:           _
l    o Oba! Tem outras brinca-     _
l       deiras e curiosidades         _
l       numricas na Revista da      _
l       pgina 90 (livro em tinta).  _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<90>
Revistinha

As matemgicas

  Antigamente os quadrados mgicos eram usados como passatempo e 
tambm como amuletos.
  Muitos matemticos famosos dedicaram-se a criar quadrados mgicos. 
Um deles foi Benjamin Franklin, o inventor do pra-raio, que criou um 
quadrado mgico cheio de truques. As linhas vermelhas indicam um dos 
truques; as linhas azuis indicam outro. As quadrculas amarelas ainda outro... 
Voc  capaz de descobri-los?

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: quadrado mgico com   o
  8 linhas e 8 colunas.          o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Este quadro, chamado _Melancolia, foi pintado por Albrecht Drer em 
1514. Observe que a data est registrada no quadrado mgico que est no 
canto superior direito do quadro.

<F->
pccccpccccpccccpcccc
l#af _l #c _l #b _l#ac _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l #e _l#aj _l#aa _l #h _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l #i _l #f _l #g _l#ab _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l #d _l#ae _l#ad _l #a _
v----#v----#v----#v----#
<F+>

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: quadro Melancolia,   o
  Drer, 1514.                   o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

O quadrado invarivel

  Este quadrado mgico  curioso. A soma dos nmeros em todas as 
linhas ou colunas  a mesma. Vire esta pgina de ponta-cabea e o quadrado 
continuar mgico.

<F->
pccccpccccpccccpcccc
l#if _l#aa _l#hi _l#fh _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l#hh _l#fi _l#ia _l#af _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l#fa _l#hf _l#ah _l#ii _
v----#v----#v----#v----#
pccccpccccpccccpcccc
l#ai _l#ih _l#ff _l#ha _
v----#v----#v----#v----#
<F+>

::::::::::o::::::::::